# Optimality Robustness in Koopman-Based Control：全文与复现记录

文献固定为 Lin 等 [arXiv:2604.05633v2](https://arxiv.org/abs/2604.05633v2)，2026-08-04修订，PDF封面写“Preprint submitted to Automatica”，不是已正式发表于 Automatica。全文共16页，已读正文、实验、参考文献及附录A–D。源文件为本项目此前保存的 `robust-koopman-2026.pdf`。作者源码链接未在本篇 arXiv 页面或本次题名检索中定位；实现为原创MATLAB。

## 全文结构与实现对应

| PDF页 | 内容 | 复现对应 |
|---|---|---|
| 1–2 | 最优性偏差、近似误差和数据噪声的分析到设计路线 | 控制成本、模型误差、残差系数和算法误差分开记录 |
| 3–4 | Koopman字典；Eq(8)双线性提升；Assumptions1–2 | 9维三阶字典，x可由前两维重构；保留B1*z*u，残差不能静默省略 |
| 4–5 | Eq(11)半因子二次成本；名义HJB Eq(14)；误差性能界 | 半因子决定名义贪心控制无1/2；界依赖admissibility等假设 |
| 6–7 | Eq(20)–(24)利用x、u、测得xdot做回归；噪声能量界转矩阵扰动 | 真实5000个时序样本、显式带噪导数通道；它不是无导数辨识方法 |
| 8–10 | Eq(33)min–max问题、Eq(34)隐式控制；最优性与鲁棒性权衡 | 对标量输入完整求解凸Hamiltonian，检查零输入分支 |
| 10–12 | Eq(46)含ε的非线性HJB子问题；Eq(47)滞后方向更新；Algorithm1与定理4 | 非线性最小二乘解含lifted Laplacian的残差；本实现采用隐式控制的完整分支变体 |
| 13 | 原例Eq(55)、解析V*/u*；5000数据/配点、9维lift、25价值项、ε=1e-3 | 使用原系统、原Q/R及原解析评估参照；缺失参数单列 |
| 14 | 6初值轨迹、Table1成本、鲁棒性图 | 同6初值比较解析、数据名义和鲁棒控制；不根据表值校准求解器 |
| 15–16 | 引用及附录A–D | 读过矩阵集合、椭圆PDE与连续依赖论证；未把数值残差当作这些结论的证明 |

实现目录为 `reproductions/robust_koopman2026/`。`rk_lift`实现字典及链式导数，`rk_identify`实现Eq(20)–(24)，`rk_basis`给25个独立状态单项式及选定的9维延拓，`rk_solve`解正则化非线性残差，`rk_control`求标量隐式控制，`rk_rollout`仅负责原非线性对象的冻结评估。

## 标量控制的必要分支

令 `a=B(z)'p`、`b=c2*norm(p)`。对本文R>0标量输入，实际最小化的是

```text
0.5*R*u^2 + a*u + b*abs(u)
u = -sign(a)*max(abs(a)-b,0)/R.
```

在 `abs(a)<=b` 时最优u=0，不能继续除以`norm(u)`。这种情况并不局限于原点：原例在x1=0时输入向量场为零，非零状态同样可有u=0。实现用完整次梯度条件处理该分支，没有给分母随意加常数来掩盖原式。

因此本实现与Eq(47)的“上轮控制方向”更新不同，是Eq(34)隐式条件的标量完整求解变体。在Eq(46)固定不确定项时，使用

```text
D_old = c1*norm(z)*norm(p_old)
      + (a_old^2-max(abs(a_old)-b_old,0)^2)/(2*R).
```

活跃分支上与原文罚项一致；零输入分支使用真实最小化值，避免把只在u非零时成立的式子越界应用。这是明确的数学变体，不能称为原Algorithm1逐行行为复现。

## 25个价值特征与PDE范围

9维lift由原状态三阶单项式构成；其二次乘积在原x中具有重复单项式，去重后为25维，与原文数量相同。但是相同x单项式可能有不同的z表达，离开二维lifted manifold后的梯度和Laplacian不同。原文未指定去重时保留哪个表达。本实现固定按索引首次出现的乘积，并保存具体pairs。这解决程序的定义歧义，不等于补全原文所有理论条件。

计算实际保留了`-epsilon*Delta_z V`，epsilon=1e-3，梯度/二阶导数均在9维z中计算。配点来自二维原状态映射后的manifold；仅排除很小的零点邻域并以多项式锚定V(0)=gradV(0)=0。未同时实施论文讨论的完整穿孔9维域、外边界条件、内边界上V和梯度齐次条件。因此交付为有限维Galerkin/配点求解变体，不能称为完整椭圆边值问题或形式化证书复现。

附录B逐次有界并不自动给出独立于迭代k的统一上界；定理4还要求足够小的c1/c2及相关PDE条件，有限数据拟合并未验证这些假设。本次保留高残差系数时不收敛的负结果，不将“代码能运行”解释为这些条件已满足。

## 原例及表格核对

原例：`xdot1=-x1+x2`，`xdot2=-0.5*(x1+x2)+0.5*x1^2*x2+x1*u`，Q=I、R=1，成本有1/2。代入 `V*=0.25*x1^2+0.5*x2^2`、`u*=-x1*x2` 的HJB恒等式为零；这些解析式只作为独立评估和测试参照。

Table1的Actual列与文中解析V*(x0)不完全一致。例如(-1.5,-1.2)的解析值为1.2825，表中为1.2999；(-0.5,1.2)的解析值为0.7825，表中为0.7877。有限时域正成本积分应不大于对应无限时域解析值，因而不能仅以时域截断解释这种方向的差异。本实现记录独立积分结果与尾项/解析值，未为贴合该表调整代码。原表部分相对百分数也需作者澄清。本笔记不推断差异的具体来源。

## 数据与残差系数

原文给出5000样本和幅值0.01的正弦/余弦数据噪声，但没有完整给出采集输入、初值/配点域、时间步、初始策略、25项具体代表及最小二乘实现。本实现明确设置这些参数并保存原始时序。噪声只进入数据采集，真实控制评估使用原确定性对象；不把噪声开关伪装成物理随机扩散。

残差系数按原文Eq(56)从采样残差求出。为免引入优化工具箱，本实现使用约束切片c1=c2=c上的最小可行值 `max_i ||r_i||/(||z_i||+|u_i|)`，并不声称求得无此限制的二维LP最优解，也不把训练点覆盖转成全域/概率界。原文报告0.1435属于其未完整公开的数据协议，本实现没有强行把自己的拟合结果改成该值。

精确复现原图/表、完整鲁棒PDE求解、界的全域有效性和硬件执行均尚未完成。实际测试和正负运行结果见 [RESULTS.md](https://github.com/tanjunkai2001/adp-matlab/blob/main/reproductions/robust_koopman2026/RESULTS.md)：8/8 测试与保存运行通过；最终 c1=c2=0.0542969858、6 次外迭代、PDE RMS=0.00129788。独立 2000 点有 25.55% 违反训练拟合界，因此界没有推广到该留出集。六个无扰动初值的鲁棒变体成本均高于名义数据 PI，本次不声称复现论文的鲁棒性能优势。